Geometrisch und materiell nichtlineare Analyse mit Imperfektionen (GMNIA) von Trägern bei Biegung

1. Zielsetzung

Das Ziel dieses Artikels ist die Verifikation des GMNIA-Moduls (geometrisch und materiell nichtlineare Analyse mit Imperfektionen) der Anwendung IDEA Member. Die resultierenden Tragfähigkeiten aus IDEA Member werden mit der analytischen Lösung nach EN 1993-1-1 [1] für Träger bei Biegung verglichen.

2. Modellbeschreibung

Insgesamt wurden 18 einzelne Fälle analysiert, um das GMNIA-Modul zu verifizieren. Alle verwenden denselben Querschnitt IPE 240 und dieselbe Stahlgüte S 235. Es wurden drei verschiedene Belastungsbedingungen untersucht (A – Endmomente, B – Kraft in der Mitte, C – kontinuierliche Last). Sechs bezogene Schlankheitswerte wurden im Bereich von 0,6 bis 1,6 verifiziert.

Abb. 1: Verschiedene Lastfälle für die Verifikation

3. Anfangsimperfektionen

Es wurden vier Ansätze zur Berechnung der Anfangsimperfektion eines Trägers bei Biegung verwendet. Diese werden mit A, B, C und D bezeichnet. Die Ansätze A, B und C verwenden die Anfangsimperfektion für das Knicken um die schwache Achse, multipliziert mit einem Faktor k = 0,5, wie in EN 1993-1-1, Abschnitt 5.3.4 (3) [1] festgelegt. Die Anfangsimperfektion nach Ansatz D wird direkt für das Biegedrillknicken bestimmt.

Ansatz A – nach EN 1993-1-1:2005, Tabelle 5.1:

Tab. 1: Bemessungswert der anfänglichen Stich-Imperfektion e₀/L für Bauteile

Ansatz B – nach prEN 1993-1-1:2020, zweiter Entwurf [2], Abschnitt 5.3.3.1:

$$\frac{e_0}{L}=\frac{α}{ε} \beta$$

wobei:

• e₀ – Anfangsimperfektion
• α – Imperfektionsfaktor abhängig von der maßgebenden Knicklinie nach 1993-1-1, Tabelle 6.1 [1]
• $\varepsilon = \sqrt{\frac{235}{f_y}}$
• f_y – Streckgrenze des Stabes [MPa]
• β – bezogene Referenz-Stich-Imperfektion nach Tabelle 2
• L – Bauteillänge

Tab. 2: Bezogene Referenz-Stich-Imperfektion

Ansatz C – EUGLI-Methode (Equivalent Unique Global and Local Initial Imperfection) nach EN 1993-1-1:2005, Abschnitt 5.3.2 (11) [1]:

$$e_0=\alpha (\bar \lambda - 0.2) \frac{M_{Rk}}{N_{Rk}}$$

wobei

• e₀ – Anfangsimperfektion
• α – Imperfektionsfaktor abhängig von der maßgebenden Knicklinie nach 1993-1-1, Tabelle 6.1 [1]
• $\bar \lambda$  – bezogene Schlankheit des Bauteils
• N_Rk – charakteristische Normalkraftbeanspruchbarkeit eines Querschnitts
• M_Rk – charakteristische Momentenbeanspruchbarkeit eines Querschnitts

Ansatz D – nach [3]:

$$e_0=\alpha_{LT} (\bar \lambda_{LT} - 0.2) \frac{M_{Rk}}{N_{Rk}}$$

wobei

• e₀ – Anfangsimperfektion
• α_LT – Imperfektionsfaktor aus Tabelle 3
• $\bar \lambda_{LT}$ – bezogene Schlankheit des Bauteils
• N_Rk – charakteristische Normalkraftbeanspruchbarkeit eines Querschnitts
• M_Rk – charakteristische Momentenbeanspruchbarkeit eines Querschnitts

Tab. 3: Imperfektionsfaktoren zur Berechnung von e₀

Die resultierenden Anfangsimperfektionswerte sind in der Tabelle unten zusammengefasst. Zu beachten ist, dass für diesen Querschnitt und diese Stahlgüte die Ansätze A und B dieselben Werte ergeben.

Tab. 4: Resultierende Anfangsimperfektionswerte

4. Analytische Lösung

Der folgende Ansatz nach EN 1993-1-1, Abschnitten 6.3.2.1 und 6.3.2.2 [1] wird zur Berechnung der Biegedrillknicktragfähigkeit des Trägers verwendet:

$$\bar \lambda_{LT} = \sqrt{\frac{W_{pl,y} f_y}{M_{cr}}}$$

$$\phi_{LT} = 0.5 \left [1 + \alpha_{LT} \left (\bar \lambda_{LT} - 0.2 \right ) + \bar \lambda_{LT} ^2 \right]$$

$$\chi_{LT} = \frac{1}{\phi_{LT} + \sqrt{\phi_{LT}^2 - \bar \lambda_{LT} ^2}}$$

$$M_{b,Rd} = \frac{\chi_{LT} W_{pl,y} f_y}{\gamma_{M1}}$$

5. Ergebnisse

Die Grenztragfähigkeiten (für Anfangsimperfektionen A = B, C und D) aus IDEA Member werden mit analytischen Werten für einen gewalzten Querschnitt (EN) und für dessen Darstellung ohne Steg-Flansch-Ausrundungen (Ew) verglichen. Schließlich werden Ergebnisse aus der Software ANSYS (A) [4] präsentiert, wobei die Anfangsimperfektionen nach Ansatz C verwendet wurden.

Tab. 5: Resultierende Momententragfähigkeitswerte

Diagramm 1: Resultierende Momententragfähigkeitswerte

Diagramm 2: Vergleich der resultierenden Momententragfähigkeiten

Die Ergebnisse der GMNIA sind im Vergleich zur Eurocode-Lösung konservativ. Dies wird teilweise durch die Querschnittsmodellierung in IDEA Member verursacht; dieser Einfluss liegt zwischen 5–10 %, wie an den blauen Säulenwerten im obigen Diagramm zu erkennen ist.

Beim Vergleich der beiden orangefarbenen Säulen (Member und ANSYS) zeigt sich eine gute Übereinstimmung mit einer numerischen Lösung in ANSYS.

Die Wahl der Anfangsimperfektion spielt eine wesentliche Rolle für die resultierende Tragfähigkeit. Bei Verwendung der Anfangsimperfektionen A oder B liegen die resultierenden Momententragfähigkeiten 10–30 % unter dem Eurocode-Wert. Die Methoden C und D sind im Vergleich zur analytischen Eurocode-Lösung für einen realen gewalzten Querschnitt nur geringfügig konservativ (< 10 %). Sie liegen jedoch sehr nahe am erwarteten Wert, der analytisch für einen Querschnitt ohne Steg-Flansch-Ausrundungen berechnet wurde.

Abb. 2: Verformte Form bei Grenztragfähigkeit und plastische Dehnung des Modells B_4

6. Literatur und Quellen

[1] EN 1993-1-1: Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten – Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, CEN, 2005.

[2] prEN 1993-1-1: Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten – Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, zweiter Entwurf, CEN, 2017.

[3] Snijder, H. H., van der Aa, R. P., Hofmeyer, H., & van Hove, B. W. E. M. (2018). Lateral torsional buckling design imperfections for use in non-linear FEA. Steel Construction: Design and Research, 11(1), 49-56.

[4] Aa, R.P. van der: Numerical assessment of the design imperfections for steel beam lateral torsional buckling, Master thesis, report 2015.96, Eindhoven University of Technology, Eindhoven, Dept. of the Built Environment, Structural Design, The Netherlands, 2015.